Et e fut

L’exponentielle est une fonction mathématique qui jouit de propriétés remarquables. Voici une façon de l’aborder.

Supposons que je dispose d’une certaine somme d’argent, disons 1000 euros. Je souhaite faire fructifier cet argent, en le plaçant dans une bonne banque. Supposons encore – mon imaginations est sans limite, en ces temps de crise économique – que je trouve une banque qui soit prête à m’offrir 100% d’intérêts par an. Autrement dit, si je place mes 1000 euros au 1 janvier 2013, j’en aurai 2000 au 1 janvier 2014, puis 4000 au 1 janvier 2015, etc. Voilà qui n’est pas si mal !

Cependant, ma cupidité naturelle me pousse à chercher un moyen gagner plus, et je parviens à trouver avec le banquier l’arrangement suivant : au lieu de percevoir 100% d’intérêts par an, j’en recevrai 50% tous les 6 mois (vous rêvez sans doute d’avoir le nom de mon banquier, mais je vais bien me garder de le divulguer). Car comme vous pouvez le constater, je serai à la tête de 1500 euros au 1 juillet 2013, et donc de 2250 euros au 1 janvier 2014 ! Le fait de fractionner le versement des intérêts a pour effet d’augmenter les bénéfices. Il semble maintenant naturel que nous pouvons encore y gagner si nous engrangeons 25% d’intérêts tous les 3 mois : ceci est confirmé par un bref calcul, qui donne un capital de 2441 euros et des poussières au 1 janvier 2014.

Au point où nous en sommes, n’ayons plus honte, ni de l’absurdité de la situation, ni de notre avidité, et poussons notre raisonnement jusqu’au bout. En rapprochant les moments de perception des intérêts, il semble que la somme croisse de plus en plus rapidement. Est-il possible, en les rapprochant suffisamment, d’atteindre un capital de 3000 euros au bout d’un an ? Essayons ! En percevant (100/12)% d’intérêts tous les mois, on possède en fin d’année la somme rondelette de 2613 euros. En poussant à (100/365)% tous les jours, le magot atteint 2714,57 euros. C’est bien, mais peut-être en deçà de ce que nous avions espéré… Malgré un fractionnement de plus en plus important, les gains augmentent de moins en moins vite. Si l’on perçoit les intérêts toutes les heures, le résultat est de 2718,13 euros. Seulement 4 euros de gagnés, pour tous ces efforts, quelle insulte ! En fait, on peut vérifier qu’en recevant les intérêts toutes les minutes, toutes les secondes, ou toutes les nanosecondes, on n’atteindra jamais plus de 2719 euros. Il existe une limite absolue, indépassable, qui vaut environ 2718,281828 euros. Peut-être reconnaissez-vous le nombre qui intervient ici, le facteur d’augmentation maximale de notre capital, approximativement 2,718281828. On l’appelle parfois nombre de Napier, ou nombre d’Euler, mais il est universellement représenté par une simple lettre, e.

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