Exponentielle d’un entier

Hier, nous avons vu apparaître un nombre très particulier, en voulant faire fructifier mon pactole de 1000 euros. Si je perçois mes intérêts à intervalles de temps infiniment rapprochés, le total sur l’année faisant toujours 100%, je suis à la tête de e fois 1000 euros au début de l’année suivante.

Que serait-il advenu si mon banquier avait été encore plus généreux au début de mon histoire, et m’avait accordé 200% d’intérêts annuels ? Mes 1000 euros auraient été transformés en 3000 euros avec une perception annuelle. Avec une perception semestrielle, j’aurais été à la tête de 4000 euros en fin d’année, et avec une perception mensuelle, près de 6357 euros. Les gains semblent s’emballer ! Mais là encore, on atteint un palier : avec une perception quotidienne, mon capital atteint 7349 euros, avec une perception toutes les secondes, 7389,06 euros. Voilà une nouvelle limite, qu’on ne peut guère améliorer en divisant l’intervalle encore et encore. Ce nombre est-il indépendant du précédent ? Que nenni ! On constate que 2.71828 élevé au carré donne environ 7.38905. Autrement dit, notre capital initial de 1000 euros a été multiplié par e².

Récapitulons : si le taux annuel est de 100%, c’est-à-dire de 1, alors au bout d’un an, en percevant les intérêts de façon infiniment rapprochée, le capital est multiplié par e. Si le taux annuel est de 200%, autrement dit 2, le capital est multiplié par e². Si le taux est de 0%, alors évidemment le capital reste constant, il est donc multiplié par 1, ou encore… e^0 ! Finalement, on peut conjecturer que si le taux annuel global est t, alors en percevant les intérêts continument, le capital est multiplié par e^t. On vérifie facilement que ceci est exact pour t=300%, t=400%, etc.

Mais surgit alors la question à cent sous : que se passe-t-il si t n’est pas entier ?

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