La fonction exponentielle

Dans les entrées précédentes, j’ai utilisé des histoires de gros sous pour susciter l’intérêt des foules envers un nombre bien précis, que l’on note e et qui vaut approximativement 2,718281828. Avant d’aller plus loin, j’aimerais revenir sur le procédé qui l’a fait apparaître, pour en donner une définition rigoureuse et précise.

Rappelons donc la situation. Nous possédons un magot s’élevant à C euros, et nous le plaçons chez un banquier coopératif, qui nous accorde un taux d’intérêt de 100% par an. Au bout d’un an, nous avons donc (1+ \frac{100}{100}) C = 2C euros. Puis nous avons eu l’idée de toucher les intérêts deux fois par an, à raison de 50% à chaque fois. Autrement dit, au bout de 6 mois, nous avons (1+ \frac{50}{100}) C = 1,5 \times C, et au bout d’un an, (1+ \frac{1}{2})^2 C=2.25 C. On peut faire le même raisonnement pour un intérêt versé tous les mois, dans ce cas le capital est multiplié par (1+ \frac{1}{12})^{12}.

Généralisons : si l’intervalle d’un an est divisé en n intervalles égaux, alors le facteur multiplicatif est (1+ \frac{1}{n})^{n}. On peut montrer que cette quantité n’augmente pas indéfiniment quand n augmente, mais converge vers une certaine limite. Cette limite est précisément le nombre e. Nous écrirons donc :

e = \lim\limits_{n \longrightarrow + \infty} (1+ \frac{1}{n})^{n}.

Le même raisonnement, appliqué pour un taux d’intérêts t (nous avions auparavant t=1), donne la limite suivante :

\lim\limits_{n \longrightarrow + \infty} (1+ \frac{t}{n})^{n}.

Nous avons constaté numériquement que, lorsque t est entier, ceci coïncide avec e^t = e \times e \times ... \times e, avec t termes. On peut alors définir, pour tout nombre réel t, le nombre e^t comme étant la limite ci-dessus. Nous avons donc construit une fonction, que l’on appelle fonction exponentielle, et qui est définie par

e^t = \lim\limits_{n \longrightarrow + \infty} (1+ \frac{t}{n})^{n}.

Cette fonction possèdes des propriétés surprenantes, que nous explorerons à l’occasion.

 

 

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