Une série entière

Abandonnons pour un moment les histoires d’argent, le temps d’établir une formule bien pratique pour l’exponentielle. Le but de cet article n’est pas seulement de disposer d’une autre formule pour l’exponentielle : j’aimerais présenter un raisonnement à la fois simple et subtil, qui préfigure les beautés cachées de l’analyse. Ce texte sera donc un peu plus technique que les précédents, mais devrait être accessible à toutes les âmes intéressées !

Nous avons vu dans l’article précédent une définition du nombre e^t :

\displaystyle e^t = \lim\limits_{n \longrightarrow + \infty} (1+ \frac{t}{n})^{n}.

Il existe une formule (sur laquelle je reviendrai dans un article ultérieur) permettant de développer une expression du type (a+b)^n. Pour n=1, c’est simplement (a+b)^1 = a+b, et pour n=2, c’est l’identité remarquable bien connue (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. La formule générale est connue sous le nom de « binôme de Newton », et s’écrit

\displaystyle (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}.

La notation k! signifie simplement 1 \times 2 \times ... \times k. Si on applique cette formule avec a=1 et b=t/n, on trouve

\displaystyle (1+ \frac{t}{n})^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{t^k n!}{n^k k!(n-k)!}.

On peut simplifier un peu cette écriture, en remarquant que

\displaystyle \frac{ n!}{n^k (n-k)!}= (1 - \frac{k+1}{n}) \times ... \times (1- \frac{1}{n})

Ce nombre est un produit de nombre compris entre 0 et 1, il est donc lui-même entre 0 et 1. Cela permet d’affirmer que (1+ \frac{t}{n})^n \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{t^k }{ k!}, et ce, pour tout entier n strictement positif. En faisant tendre cet entier vers l’infini, le terme de gauche donne e^t, et on a donc

\displaystyle e^t\leq\sum\limits_{k=0}^{+ \infty}\frac{t^k}{k!}.

Mais revenons au développement du binôme obtenu ci-dessus. La somme ne contient que des termes positifs, par conséquent, en oubliant certains termes, on obtient un nombre inférieur. Choisissons donc un entier m. Pour tous les entiers n supérieurs à m, on peut écrire

\displaystyle (1+ \frac{t}{n})^n \geq \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{t^k n!}{n^k k!(n-k)!}=\sum\limits_{k=0}^{m} \frac{t^k}{k!} (1 - \frac{k+1}{n}) \times ... \times (1- \frac{1}{n})

L’astuce est de faire tendre n vers l’infini, tout en gardant m fixé. Le terme de gauche donne toujours e^t, rien de nouveau ici. Quant au membre de droite, c’est simplement une somme d’un nombre fini de termes (il y en a m+1). Et chaque terme fait intervenir un produit de k facteurs, où k est toujours inférieur à m. En prenant la limite quand n tend vers l’infini de ce produit, on trouve naturellement 1. En conséquence,

\displaystyle e^t \geq \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{t^k}{k!}.

Ce raisonnement est valable pour tout entier m, donc on peut faire tendre m vers l’infini, et trouver

\displaystyle e^t \geq \sum\limits_{k=0}^{+ \infty} \frac{t^k}{k!}.

Remarquez dans ce raisonnement la subtilité du double passage à la limite. Il vaut la peine de s’arrêter un instant ici, et de bien comprendre pourquoi tout ceci est valide, et pourquoi il n’est pas possible de faire tendre n vers l’infini sans avoir pris la précaution d’introduire un « seuil » m. En outre, on peut s’émerveiller de l’immensité que représente l’infini : m est sensé être un entier « petit », en tout cas inférieur à n. Et malgré cela, on se permet de le faire tendre vers l’infini ! Cela vient du fait que même si on fait tendre m vers l’infini, il existera toujours des entiers supérieurs (par exemple, m+1). Cette remarque peut paraître triviale ; cependant, nous reviendrons dans un prochain articles sur les subtilités de l’infini, et nous verrons que tout n’y est peut-être pas si simple…

Quoi qu’il en soit, nous avons démontré une formule absolument fondamentale : pour tout nombre réel t, on a \displaystyle \boxed{e^t =\sum\limits_{k=0}^{+ \infty} \frac{t^k}{k!}}. Une telle somme est appelée « série entière », et en un certain sens, elle permet d’appréhender de manière beaucoup plus directe les propriétés de la fonction exponentielle.

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