Dérivation et exponentielle

L’un des concepts fondamentaux des mathématiques est celui de dérivation. Je ne vais pas m’appesantir sur ce concept aujourd’hui, je le ferai dans un prochain article. Ici j’adopterai un point de vue assez intuitif, et il se pourra que mes affirmations et mes notations manquent de rigueur, je m’excuse à l’avance auprès des lecteurs les plus pointilleux. Cet avertissement est d’ailleurs valable pour un grand nombre d’articles de ce blog, qui n’a pas vocation à être un cours, mais plutôt une introduction à certains concepts et êtres mathématiques que je trouve élégants.

Revenons à la dérivation. Pour le présent article, il suffit de savoir que si f est une fonction d’une variable t (que l’on peut considérer comme étant le temps), le nombre dérivé de f au point t,, que l’on note f'(t), représente le taux d’accroissement de la fonction en ce point. Autrement dit, si j’augmente t d’une petite quantité dt, alors la valeur f(t) augmente de f'(t) \times dt, ce que l’on peut noter f(t+dt)=f(t)+f'(t)dt. L’égalité est ici à prendre avec des pincettes, elle n’est valable que dans un sens bien précis, mais on se contentera ici de dire qu’elle est réalisée lorsque dt est infiniment petit. Je reviendrai sur ce fait dans un article ultérieur.

Essayons d’appliquer ces idées au capital que nous avons placé dans une banque généreuse, et examinons l’effet des intérêts. Si ceux-ci sont perçus annuellement, le capital reste constant pendant toute l’année, puis augmente brutalement le 1 janvier suivant à 00h00. Cette augmentation est proportionnelle au capital, le coefficient de proportionnalité valant 1. Pour être plus précis, il faut donner une unité à ce coefficient : il vaut 1 euro/an,  car au bout d’un an, pour un euro placé, on a gagné un euro.Passons aux intérêts semestriels. Ici, au bout de 6 mois, on gagne 50% du capital, le coefficient de croissance est 0.5 au bout de 6 mois. Plus précisément, il vaut 0.5 euros/(6 mois), soit… 1 euro/an ! Le coefficient est toujours le même, seul l’intervalle de temps a changé ! L’accroissement du capital est le produit de ce coefficient par le capital lui-même, que ce soit au premier ou au second semestre. Évidemment, le raisonnement est identique pour une perception mensuelle des intérêts, ou même pour une perception toutes les secondes. On peut considérer qu’une seconde est infiniment brève devant la durée d’une année, et donc que le capital évolue continument au cours de temps. Et son taux d’accroissement est toujours égal au coefficient, 1 euro/an, multiplié par le capital. Prenons la résolution d’écrire tous les montants en euros, et toutes les durées en années, de sorte qu’il est possible d’oublier l’unité « euro/an ». Dans ce cas, le taux d’accroissement du capital est égal au capital lui-même ! On notera donc C'=C.

Cette remarque est fondamentale : lorsque les intérêts sont perçus continument, le capital est égal à sa dérivée. Mais le capital, c’est ma fonction exponentielle, C(t)=e^t. D’où la conclusion, imparable : la fonction exponentielle est égale à sa dérivée. En outre, à l’instant initial t=0, elle vaut e^0=1 (ce qui est compréhensible, le capital n’a pas bougé). Or, un théorème fameux, dit de Cauchy- Lipschitz, affirme qu’il n’existe qu’une seule fonction qui vérifie ces deux conditions. Il s’agit donc d’une nouvelle définition de la fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est la seule fonction qui soit égale à sa dérivée, et dont la valeur en 0 est 1.

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