Un détour par les nombres complexes

Les nombres complexes fascinent et effraient les néophytes. Ils ne sont parfois pas pris au sérieux, et considérés comme un délire de mathématiciens, sans lien avec le monde physique dans lequel nous vivons. Je vais tenter de m’attaquer à ces considérations, au cours d’une série d’articles où je vais introduire les nombres complexes d’une manière peut-être moins mystérieuse que celle à laquelle les étudiants de terminale ont parfois pu être confrontés. Je vais m’appesantir moins sur les calculs que sur la philosophie et les schémas de pensée mis en oeuvre, schémas omniprésents en mathématiques.

Partons d’un problème concret et classique. La somme des âges du capitaine et du matelot vaut 91, leur produit vaut 1764. Quel est l’âge du capitaine ? La résolution est assez simple. Notons x l’âge du capitaine, et y celui du matelot. Alors x+y=91 et xy=1764. De la première équation, on tire y=91-x, et en reportant dans la seconde, on obtient x^2 - 91x + 1764 =0. Évidemment, par symétrie, on a également y^2-91y+1764=0. Les deux âges sont donc les deux solutions d’une même équation du second degré, que l’on résout par la méthode habituelle : \Delta = 91^2-4 \times 1764 = 1225=35^2, et (comme x \geq y), x= (91+ \sqrt{\Delta})/2=63.

De manière générale, on peut énoncer que deux nombres dont le produit est P et la somme est S sont les deux solutions de l’équation x^2-Sx+P=0.

Voici maintenant un nouveau problème : déterminer deux nombres dont la somme est 6 et le produit est 10. Facile, vous dites-vous ! Résolvons x^2-6x+10=0 ! Mais il y a un problème, \Delta = 36-40=-4 <0. C’est à ce moment qu’intervient en général un petit être qui sauve la sauce, j’ai nommé i, qui vérifie la curieuse relation i^2=-1. Avec lui, les problèmes s’évanouissent : \Delta = (2i)^2, et on trouve les deux nombres recherchés : 3+i et 3-i. Et vous pouvez vérifier, la somme fait bien 6, et le produit 10.

Le problème, c’est qu’on sait bien que le carré de tout nombre réel est positif, règle des signes oblige ! Le nombre i n’est donc pas réel, il est au choix imaginaire ou irréel. Tout ça ne semble pas très mathématique… De quel droit nous permettons nous d’inventer un être si étrange, simplement pour faciliter nos calculs ? Il arrive fréquemment que les mathématiciens introduisent de nouveaux concepts pour généraliser des propriétés, ou pour résoudre des problèmes qui apparaissaient auparavant sans solution. Mais l’imagination dont ils font preuve doit aller de pair avec la rigueur indispensable en mathématiques. On dit qu’il faut construire le nouvel objet à partir d’objets existant déjà. Et le nombre i n’échappe pas à la règle, il n’a rien d’extraordinaire ou d’irréel (excepté le fait qu’il n’appartienne pas à l’ensemble des réels…). Voilà comment on peut procéder (j’expliquerai d’autres constructions, peut-être plus élégantes, dans des articles ultérieurs).

L’idée est de considérer des matrices. Les matrices sont des objets qui ressemblent à des tableaux de nombres, elles sont construites à partir des nombres réels, et peuvent s’additionner et se multiplier selon des règles précises. Considérons d’abord les matrices de la forme \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}, où a est un nombre réel quelconque. Ces matrices se comportent exactement comme les réels eux même, que ce soit pour l’addition ou pour la multiplication, par exemple

\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ab & 0 \\ 0 & ab \end{pmatrix}.

On peut donc dire que les matrices de la forme \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix} sont simplement une autre forme de représenter les nombres réels (vus comme des objets abstraits qui vérifient certaines propriétés), et on peut s’autoriser à écrire a=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}. Mais une fois ceci admis, il n’y a rien de révolutionnaire à examiner la matrice \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}. Certes, elle ne représente pas un nombre réel, mais c’est un objet de même nature. Et cet objet vérifie la relation suivante :

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Autrement dit, cet objet, élevé au carré, donne le réel -1 ! Nous allons l’appeler… i, évidemment ! Insistons bien sur le fait que ce i n’a rien d’imaginaire, c’est simplement une matrice carrée de taille 2, qui n’a pas le format des matrices que l’on a identifiées aux nombres réels. Et tous les nombres complexes peuvent être représentés ainsi :

a+ib = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}.

On pourra vérifier que la somme des matrices 3+i = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} et 3-i = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} vaut bien \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, et que leur produit vaut bien \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}. On constate que les calculs qui interviennent ici font uniquement appel à des nombres réels, et à la structure des matrices.

Finalement, la morale de cette histoire, c’est simplement que travailler avec des nombres complexes, c’est simplement travailler avec des matrices. Ce qui rendait la situation confuse, c’est que ces matrices étaient cachées, par l’identification des matrices diagonales, du type \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}, aux réels eux-mêmes, et aux matrices de la forme \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b & 0\end{pmatrix}, aux imaginaires purs. N’allez pas croire, cependant, que cette identification est uniquement trompeuse : une fois que l’on a bien compris la construction, et que l’on a vérifié que ses notations, quelque peu abusives, n’introduisent aucune ambiguïté, elle est très pratique, et totalement justifiée. Nous la conserverons donc à l’avenir, mais en nous souvenant que ce sont bien des matrices que l’on manipule derrière.

Une dernière remarque pour terminer : il existe parfois (et même souvent) plusieurs constructions pour un même objet (ici, l’ensemble des nombres complexes), toutes équivalentes, mais plus ou moins abstraites. Celle que j’ai donnée ici a le mérite d’être très concrète. Nous en verrons d’autres lors de prochains articles.

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