Sinus et cosinus entrent dans la danse

Dans l’article précédent, nous avons appris à dériver les monômes (c’est ainsi qu’on appelle les fonctions du type f(x)=x^n), et nous avons vu que l’expression de l’exponentielle sous forme de série entière rend flagrant le fait que cette fonction soit sa propre dérivée. On pourrait continuer à jouer à ce petit jeu, et construire des fonctions vérifiant des propriétés intéressantes liées à la dérivation, uniquement à partir de leur expression sous forme de série entière.

Par exemple, coupons l’exponentielle en deux, en mettant d’un côté les termes d’exposant pair, et de l’autre ceux d’exposant impair :

ch(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...

sh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...

J’ai appelé ces fonctions ch et sh, nous verrons pourquoi ultérieurement, pour l’instant, considérons qu’il ne s’agit que d’une lubie de ma part. D’après ce que nous avions remarqué la dernière fois, en dérivant les termes de sh, on trouve les termes de ch, autrement dit, la dérivée de sh est ch. Mais ça marche aussi dans l’autre sens : le 1 disparaît lorsqu’on le dérive, et tous les autres termes donnent des termes de sh. Ainsi, sh est la dérivée de ch !

Nous avons donc ici deux fonctions, différentes, telles que chacune d’elle est la dérivée de l’autre. Tout ceci est bel et bon, et nous pourrions construire de même un cycle de 3 fonctions, par exemple U, V et W, telles que la dérivée de U soit V, celle de V, W, et celle de W, U ! Il suffit pour cela de prendre un terme sur trois dans la série entière de l’exponentielle. Et bien sûr, le jeu peut se prolonger pour un cycle à 4, 5, 6 ou un nombre quelconque de fonctions. Mais au bout d’un moment, ce n’est plus très amusant.

On pourrait alors pimenter les règles du jeu. Par exemple, pouvez-vous trouver une fonction dont la dérivée soit son opposée ? Avec un peu de réflexion, on se rend compte que c’est possible, en mettant un signe moins une fois sur deux dans la série exponentielle :

M(x)=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-...

Chaque terme de la série est l’opposé de la dérivée du terme suivant, et le tour est joué. Que se passe-t-il si l’on fait de même avec les fonctions sh et ch ci-dessus ? Définissons donc :

C(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...

S(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...

Dans ce cas, la dérivée de S est toujours C, mais la dérivée de C est maintenant -S (vérifiez!). Cependant, en continuant à dériver, on retombe sur ses pattes :

S \longrightarrow C \longrightarrow -S \longrightarrow -C \longrightarrow S

Pour éviter d’avoir à écrire les cycles sous cette forme, on adopte la notation des équations différentielles. Pas de panique, il n’y a rien de compliqué ici, on note simplement y la fonction, et on note toujours la dérivée avec un prime. Autrement dit, la fonction S vérifie l’équation différentielle y''=-y, et la fonction exponentielle vérifie l’équation différentielle y'=y. N’y a-t-il toujours qu’une seule solution à une équation différentielle ? En général, non, comme on peut le voir en constatant que C est également solution de y''=-y (et il est clair que C et S sont différentes, puisque C(0)=1 alors que S(0)=0.

Mettons fin au suspense. Peut-être avez-vous reconnu ces deux fonctions, ou les avez-vous devinées grâce au nom temporaire duquel je les ai baptisées. Il s’agit des célèbres sinus et cosinus, ces fameuses fonctions oscillantes, dont nous allons beaucoup parler. En un sens, leur caractère oscillant est compréhensible en regardant l’équation différentielle qu’elles vérifient, et en remarquant que la dérivée seconde correspond à la courbure (c’est le taux de variation du taux de variation !). Donc quand la fonction prend des valeurs trop élevées, y est grand, donc y''=-y devient fortement négatif, ce qui oblige la fonction à devenir décroissante. Et le processus est le même lorsque la fonction devient trop négative.

Mais nous reviendrons sur tout cela très bientôt. Pour l’instant, retenons bien les formules obtenues :

\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...

\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...

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