Tout (ou presque) sur sinus et cosinus à partir de la série entière

J’aimerais adopter ici une démarche quelque peu différente de celle qui est présentée en général dans l’enseignement. Nous allons essayer de déduire les propriétés usuelles des fonctions sinus et cosinus à partir de leur seule expression sous la forme d’une série entière, introduite dans le précédent article (ça se passe ici). Cela me permettra de mettre en œuvre un certain nombre de raisonnements utiles.

Définissons donc les deux fonctions par

\displaystyle \cos(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}

\displaystyle \sin(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

Ai-je bien défini mes fonctions en donnant ces deux expressions ? Pas tout à fait. Pour définir une fonction, il faut donner l’ensemble de départ (celui où on prend x) et l’ensemble d’arrivée (celui où tombe f(x)). Ici, nous prenons pour ensemble de départ et d’arrivée l’ensemble des réels \mathbb{R}. Tout est-il bon maintenant ? Pas encore. En effet, il faut vérifier que les formules que j’ai données sont correctes pour tout x dans l’ensemble de départ, et que pour tous ces x, on tombe bien dans l’ensemble d’arrivée. Et cela n’est pas évident, car on fait intervenir ici des sommes infinies. Par exemple, si je pose f(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} x^k, il est clair que cette définition pose problème pour x=1, puisque la somme diverge (on n’a donc en toute rigueur même pas le droit de l’écrire). Cependant, ici, on peut montrer que la somme converge pour tout réel x. Comment montrer ceci ? C’est assez simple. Tout d’abord, remarquons que pour un réel r\in[0,1[, on a

\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N} r^k=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.

Quand N tend vers l’infini, r^{N+1} tend vers 0, et donc

\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+ \infty} r^k=\frac{1}{1-r}.

La série ci-dessus converge donc. Si l’on parvenait à montrer que les séries qui définissent sinus et cosinus sont, en quelque sorte, inférieures à celles-ci, il est clair que l’on serait certain qu’elles convergent elles aussi. Or, il est assez clair que (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} tend vers 0 quand k tend vers l’infini (puisque quand k devient grand, les facteurs au dénominateur sont de plus en plus grands, alors que ceux du numérateurs restent égaux à x). Mais attention, ce n’est pas parce que (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} tend vers 0 que la somme converge ! Nous verrons un contre-exemple très bientôt. Mais ici, cela va quand même nous suffire… En effet, si la suite tend vers 0, elle est majorée par un certain réel M_x. Voyons maintenant comment conclure. Soit y un réel quelconque (disons positif, pour simplifier). Soit x un réel supérieur à y. Alors :

\displaystyle |(-1)^k\frac{y^{2k}}{(2k)!}|=\frac{x^{2k}}{(2k)!}\times (y/x)^{2k}\leq M_x \times r^{k}

avec r=(y/x)^2<1. Nous avons vu que nous avons le droit de sommer le membre de droite (la constante M_x ne nous gêne pas), et donc la définition de la fonction cosinus est correcte. Il en va évidemment de même pour sinus.

Après ce long préambule, passons aux propriétés élémentaires. Les expressions des séries entières ont été construites exprès pour que \sin '=\cos et \cos '=-\sin. En toute rigueur, il faudrait vérifier qu’on a le droit de dériver une somme infinie de termes, mais vous pouvez me faire confiance, ça marche (avec des arguments similaire à ceux utilisés pour prouver la convergence). En utilisant ces relations, on peut montrer une égalité fameuse… En effet, la dérivée de \sin^2 + \cos^2 vaut 2 \sin \cos - 2 \cos \sin=0, donc cette expression est une constante, que l’on évalue à 1 en x=0. On en déduit que pour tout réel x, on a \cos(x)^2+\sin(x)^2=1, c’est fondamental ! Notez que ceci est déjà assez difficile à voir directement à partir de l’expression en série entière. En particulier, cela prouve que les deux fonctions sont bornées (par -1 et 1).

Passons à la périodicité. Là, ça ne semble pas évident du tout. Pour nous aider, nous allons appeler une fonction à la rescousse, définie par E(x)=\cos(x)+i \sin(x). Sa dérivée vaut E'(x)=-\sin(x)+i \cos(x)=i(i \sin(x) + \cos(x))=i E(x). Remarquable ! Car alors la dérivée de E(x+y)/E(x) par rapport à x est nulle (revoyez la formule pour la dérivée d’un quotient). Donc cette expression est constante, et on peut l’évaluer en x=0 : E(x+y)/E(x)=E(y)/E(0)=E(y). Autrement dit, pour tous réels x,y, on a E(x+y)=E(x)E(y). Si l’on écrit cela en entier, on trouve :

\cos(x+y) + i \sin(x+y) = (\cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)) + i (\cos(x) \sin(y) + \sin(x) \cos(y)).

En identifiant les parties réelle et imaginaire, on obtient les célèbres formules d’addition :

\cos(x+y) =\cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)

\sin(x+y) = \cos(x) \sin(y) + \sin(x) \cos(y).

C’est joli, mais on ne voit toujours pas de périodicité là-dedans… Patience ! Nous savons que \cos(0)=1. Existe-t-il un réel \alpha tel que \cos(\alpha)=0 ? Supposons que ce ne soit pas le cas. Dans ce cas, \sin ' = \cos est toujours strictement positive, donc sinus est une fonction strictement croissante. Par conséquent, pour tout x>1, on a \cos '(x)=-\sin(x)<-\sin(1). Autrement dit, la pente de la courbe représentant la fonction cosinus est négative, et toujours inférieure à une valeur strictement négative, ce qui est incompatible avec le fait que c’est une fonction bornée ! C’est donc que notre hypothèse était fausse, il existe bien des réels annulant le cosinus. Nous appelons \alpha le plus petit d’entre eux (on admet qu’il existe, et qu’il est non nul). Maintenant, la périodicité n’est plus très loin. En effet, on a nécessairement \sin(\alpha)=1 (en utilisant la relation fondamentale sur les carrés, et le fait que sinus est croissante pour 0<x<\alpha). Mais alors, les formules d’addition donnent \cos(x+\alpha)=-\sin(x) et \sin(x+\alpha)=\cos(x). Donc \cos(x+2\alpha)=-\sin(x+\alpha)=-\cos(x), et donc \cos(x+4\alpha)=-\cos(x+2\alpha)=\cos(x) ! Par conséquent, cosinus est périodique, de période 4 \alpha. On pose alors, par définition, \pi=2 \alpha. Et voilà, nous avons prouvé la 2\pi-périodicité !

Plusieurs éléments de cet article méritent de plus amples explications, notamment la fonction E introduite pour obtenir les formules d’addition. Nous y reviendrons très bientôt, et nous découvrirons les trésors qu’elle recèle…

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